Линейная алгебра

Какое из утверждений верно для матрицы A размером 2×2, если её определитель равен нулю?

• Матрица невырождена
• Матрица вырождена
• Матрица является обратимой
• Определитель матрицы равен 1

Какое из этих чисел является собственным значением матрицы?

• Число, которое можно выразить через определитель матрицы
• Число, которое можно выразить через след матрицы
• Число, для которого существует нетривиальный собственный вектор
• Число, равное сумме всех элементов матрицы

Как называется процесс приведения матрицы к диагональному виду?

• Приведение к верхнему треугольному виду
• Приведение к каноническому виду
• Диагонализация
• Рангование

Что такое ранг матрицы?

• Максимальное количество столбцов, линейно зависимых друг от друга
• Количество элементов, составляющих наибольший минор
• Наибольший порядок ненулевого минора матрицы
• Число строк в матрице

Какую форму имеет матрица после применения метода Гаусса для решения системы линейных уравнений?

• Матрица в верхнем треугольном виде
• Матрица в диагональном виде
• Матрица в ступенчатом виде
• Матрица в каноническом виде

Как называется пространство всех решений однородной системы линейных уравнений?

• Пространство векторов решений
• Нулевое пространство матрицы
• Пространство всех собственных векторов
• Линейная оболочка

Какие числа могут быть собственными значениями симметричной матрицы?

• Только целые числа
• Только положительные числа
• Только действительные числа
• Только отрицательные числа

Что такое скалярное произведение двух векторов?

• Произведение их длин
• Сумма произведений соответствующих компонентов векторов
• Произведение длины одного вектора на угол между векторами
• Произведение двух матриц

Как называется метод нахождения собственных значений матрицы через характеристическое уравнение?

• Метод характеристического многочлена
• Метод Гаусса
• Метод исключения
• Метод Ньютона

Какой ранг имеет единичная матрица размером n x n?

• Ранг равен 0
• Ранг равен n
• Ранг равен 1
• Ранг равен n-1

Какую форму имеет матрица после приведения её к ступенчатому виду?

• Все элементы ниже главной диагонали равны нулю
• Все элементы ниже главной диагонали равны нулю, а элементы на главной диагонали могут быть ненулевыми
• Все элементы над главной диагональю равны нулю
• Все элементы выше главной диагонали равны нулю

Что такое линейная зависимость векторов?

• Векторы, которые не пересекаются
• Векторы, которые могут быть выражены как линейные комбинации друг друга
• Векторы, которые лежат на одной прямой
• Векторы, имеющие одинаковое направление

Что означает «обратная матрица» для матрицы A?

• Матрица, у которой все элементы умножены на -1
• Матрица, умножение которой на A дает единичную матрицу
• Матрица, у которой равны нулю все элементы на главной диагонали
• Матрица, у которой все элементы симметричны относительно главной диагонали

Что такое линейная оболочка набора векторов?

• Множество всех векторов, полученных линейными комбинациями этих векторов
• Множество всех собственных векторов
• Множество всех решений системы уравнений, полученной из этих векторов
• Множество всех ортогональных векторов

Какое свойство имеет ортогональная матрица?

• Все её элементы равны нулю
• Её строки и столбцы линейно независимы
• Транспонированная матрица равна её обратной
• Её определитель равен 0

Что такое собственный вектор матрицы?

• Вектор, который является результатом умножения матрицы на вектор
• Вектор, который изменяет только свою длину, но не направление, при умножении на матрицу
• Вектор, который является решением системы линейных уравнений
• Вектор, который является линейной комбинацией строк матрицы

Что такое изометрия в линейной алгебре?

• Применение линейного преобразования, сохраняющего расстояние между векторами
• Линейное преобразование, сохраняющее длины векторов и углы между ними
• Преобразование, которое сохраняет только длину вектора
• Преобразование, которое изменяет только направление векторов

Что является характеристическим многочленом матрицы A?

• Многочлен, определяющий определитель матрицы
• Многочлен, который равен нулю, если λ является собственным значением матрицы A
• Многочлен, определяющий след матрицы
• Многочлен, который равен 1, если матрица невырождена

Как называется матрица, у которой все элементы на главной диагонали равны единице, а все остальные элементы равны нулю?

• Нулевая матрица
• Единичная матрица
• Единичная матрица
• Диагональная матрица

Какое из следующих выражений является определителем матрицы A?

• det(A)
• trace(A)
• inv(A)
• rank(A)

Какой из методов используется для нахождения собственных значений матрицы?

• Метод Гаусса
• Характеристическое уравнение
• Метод Жордана
• Метод эйлеровых чисел

Что из перечисленного является линейной комбинацией векторов?

• Вектор, который может быть представлен как сумма множителей других векторов
• Линейное сочетание векторов
• Только те векторы, которые находятся в одной плоскости
• Все ответы неверны

Как называется матрица, у которой определитель равен нулю?

• Сингулярная матрица
• Единичная матрица
• Обратимая матрица
• Треугольная матрица

Какая из этих матриц является обратимой?

• Матрица с нулевым определителем
• Матрица с ненулевым определителем
• Матрица с диагональными элементами равными нулю
• Матрица, содержащая только нули

Как называется преобразование, которое сохраняет углы и расстояния между векторами?

• Линейное преобразование
• Ортогональное преобразование
• Параллельный перенос
• Гомотетия

Какое из этих утверждений верно для векторов в евклидовой пространстве?

• Векторы могут быть ортогональными, если их скалярное произведение равно нулю
• Все векторы параллельны
• Векторы всегда лежат в одной плоскости
• Все векторы имеют одинаковую длину

Какая из следующих матриц является диагональной?

• Матрица, в которой все элементы, кроме диагонали, равны нулю
• Матрица, в которой все элементы, кроме диагонали, равны нулю, а на диагонали — любые элементы
• Матрица с одинаковыми значениями по всей матрице
• Матрица, у которой нули только в верхнем треугольнике

Что такое ранг матрицы?

• Число строк матрицы
• Число столбцов матрицы
• Число линейно независимых строк или столбцов матрицы
• Определитель матрицы

Какое из следующих утверждений верно для системы линейных уравнений?

• Система всегда имеет единственное решение
• Система может иметь бесконечно много решений, одно решение или не иметь решений
• Система всегда имеет решения
• Система может иметь только одно решение

Как можно найти обратную матрицу для матрицы A?

• Через её определитель и дополнение
• Используя только её элементы на главной диагонали
• Используя метод Гаусса
• Обратной матрицы не существует

Что такое нулевой вектор?

• Вектор с нулевыми координатами
• Вектор, все компоненты которого равны нулю
• Вектор, длина которого равна нулю
• Все векторы, которые лежат на оси абсцисс

Какую форму принимает квадратная матрица при выполнении процедуры приведения её к ступенчатому виду?

• Каждый элемент, расположенный ниже главной диагонали, равен нулю
• Каждый элемент, расположенный выше главной диагонали, равен нулю
• Каждый элемент главной диагонали равен 1
• Все элементы главной диагонали равны нулю

Какой тип матрицы имеет все элементы на главной диагонали равными единице?

• Нулевая матрица
• Единичная матрица
• Симметричная матрица
• Ортогональная матрица

Что из перечисленного является линейным преобразованием?

• Преобразование, которое сохраняет сложение и умножение на скаляр
• Преобразование, которое только сохраняет длину векторов
• Преобразование, которое изменяет направление всех векторов
• Преобразование, которое меняет только углы между векторами

Как называется операция умножения матрицы на вектор?

• Скалярное произведение
• Линейное преобразование
• Матрица Крамера
• Векторное произведение

Что происходит с собственными значениями матрицы при её транспонировании?

• Они изменяются на противоположные
• Они остаются такими же
• Они становятся комплексными
• Они становятся равными нулю

Что из следующего верно для ортогональных матриц?

• Их строки линейно зависимы
• Их определитель равен нулю
• Их строки и столбцы являются взаимно ортогональными
• Они не имеют собственных значений

Как называется матрица, которая является одновременно симметричной и ортогональной?

• Треугольная матрица
• Ортогональная симметричная матрица
• Единичная матрица
• Матричный произведение

Что представляет собой нормальная форма матрицы?

• Форма, в которой все элементы матрицы равны единице
• Форма, при которой матрица имеет диагональные элементы или элементы на главной диагонали равные нулю
• Матрица с нулевыми элементами по диагонали
• Матрица с линейно зависимыми строками